Para buscar la solución tienes que saber primero cuál es exactamente el problema: si el correo se te queda en cola en espera de ser procesado, como dice Nibb, o puede ser también que el servidor, el tuyo o el otro, rechace los mensajes por alguna mala configuración o por pérdidas temporales de conexión.
Para comenzar a averiguar esto mira primero las colas del correo. Instala en WHM la extensión gratuita ConfigServer Mail Queues (cmq), que puedes descargar
aquí, donde también encontrarás las instrucciones. Esta extensión te permite ver todos los mensajes que están en cola, pendientes de salida o de entrada. Si fuerzas la entrega de un determinado menaje que está en cola y esta no se realiza, verás la razón en el correspondiente mensaje de error, y a partir de ahí puedes buscar la solución.
El segundo paso es examinar los registros de Exim para detectar posibles bloqueos y rebotes.
Para todo esto tienes que tener acceso root al servidor mediante SSH, claro. Si no tienes acceso root no te quedará más remedio que pedirle a tu proveedor de hosting que lo investigue él.
Espero que te sirva. Un saludo.